线性代数07-施光燕教授-一万年太久只争朝夕

线性代数07-施光燕教授的笔记

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线性代数10-施光燕教授的笔记
一、相似矩阵本讲所讲的均为方阵。A-方阵，P为同一阶的可逆方阵，A通过相似变换P<-1>AP=B,称A和B相似，记为A~B。定理，若A和B相似，则A,B具有相同的特征方程，也即有相同的特征值。二、矩阵的对角化A~λ（对角阵）结论：若A=PλP<-1>,则λ中对角元素λi必为A得特征值，P中得列向量pi必为A相应于λi的特征向量，反之亦然。结论：对称阵一定可以对角化。
线性代数09-施光燕教授的笔记
矩阵的特征值和特征向量和秩一样，是矩阵另外一个特征，但是针对于方阵。概念：对于方阵A，若有非零向量X和数λ使得AX=λX，则称数λ为A的特征值，称非零向量X为A相应于特征值λ的特征向量。结论 A-nxm设λ1，λ2，…λn为A的特征值，则λ1+λ2+…+λn=A的迹（矩阵的对角线元素之和叫做矩阵的迹）λ1λ2…λn=lAl相当于解一元二次方程得韦达定理。求法：1、lA-λil=0(i为单位阵)，解出λ，即为矩阵A的特征值。2、求齐次线性方程组(A-λi)x=0的基础解系，即为特征向量。
线性代数08-施光燕教授的笔记
线性方程组（三）线性方程组的理论，AX=B,(B≠0)为非齐次线性方程组，r(A)=r([AB])<n，n-r(A)个自由变量。解的性质1、若Y为AX=B的解，X是AX=0的解，则Y+X亦为AX=B的解。2、若Y1、Y2均为AX=B的解，则Y1-Y2亦为AX=0的解。齐次通解：对于AX=B，若AX=B的一个解Y和AX=0的基础解系X1,X2,…，Xk，k=n-r(A)，则AX=B的所有解即为X=Y+c1X1+c2X2+…+ckXk(其中c1,c2,…，ck为任意常数)步骤1、[A,B]转换为阶梯阵。2、确定自由变量。3、令所有自由变量为0，求得AX=B的一个特解Y。4、求出AX=0的基础解系。5、求通解。
线性代数07-施光燕教授的笔记
线性方程组（二）若有解，解是否是唯一的？r(A)=r([AB])=n 等价于解唯一；r(A)=r([AB])<n 等价于解不唯一；且有n-r(A)个自由变量。有解，不唯一，怎么掌握全体？AX=O齐次线性方程组A-mxn，r(A)<n有n-r(A)个自由变量。若X1,X2均为AX=O的解，则C1X1+C2X2(C1、C2为任意常数)也是AX=O的解，{XlAX=O}（注意这是一个集合）中极大无关组，又称AX=O的基础解系。求AX=O齐次方程组的通解的步骤：1、化为阶梯阵。2、确定n-r(A)个自由变量。3、令一个自由变量为1，其它为0，用遍这样的办法，得到n-r（A）组解，即构成基础解析。4、基础解系中的解分别乘上任意常数相加，即得通解。