高等数学

一、函数的有界以性

1. 函数的上下界：若存在M（不局限于正数），(st)使得f(x)≤ M,(0到正无穷）x∈I,则称函数f(x)在区间I 上有上界。  任何一个数N>M ,N也是f(x)的上界。下界就反过来写。 反写的A=对于

２、上下界的关系：若f(x)在区间Ｉ上有界<＝>f(x)在Ｉ上既有下界又有上界！

证​明：假设f(x)在Ｉ上有界，根据定义存在Ｍ>0,st |f(x)|≤M<=>-M≤f(x)≤M    因此f(x)有下界－Ｍ，也有上界Ｍ（对于x∈I).　因此，f(x)有下界－Ｍ，也有上界Ｍ（对于x∈I).

设f(x)在Ｉ上既有下界m,也有上界Ｎ　m≤f(x)≤N  ( 二种情况）　①如果m=N=0 =>f(x)≡0,对于x∈I f(x)在Ｉ上有界。②如果m,N不同时为０，取　

　　Ｍ＝max{|m|,|N|}>0

-M≤-|m|≤m≤f(x)≤N≤|N|≤M

   即　-M≤f(x)≤M

   |f(x)|≤M  对于x∈I成立

 ∴f(x)在区间Ｉ上有界。

二、函数的单调性

若函数f(x)在区间Ｉ上，对任何x1、x2∈I,且x1<x2,恒有f(x1)<f(x2),则称f(x)在区间Ｉ上是严格单调增的。若x1<x2,恒有f(x1)≤f(x2)，则称f(x)在Ｉ上广义单调增（单调增、非减的）。

若x1<x2,恒有f(x1)>f(x2),则称f(x)在Ｉ上严格单调减。类似地有广义单调减（单调减非增的）

例如：y=x２　Ｄf＝（ -∝， ∝）

在（0，+ ∝）上，y＝x２严格单调增的。在（ -∝，0）上是严格单调减。

取整函数：y=[x]   这是表示方法

y＝-1   [-1≤x<0]

    0     [0≤x<1]

    .....它是广义的单增

三、函数的奇偶性

若f(x)在关于原点对称区间I上满足f(-x)＝-f(x),则称f(x)为偶函数；满足f(-x)＝-f(x),则称f(x)为奇函数。它是用等式来描述的，不同于一、二两个性质，一、二是用不等式描述的。

偶函数图形关于y轴对称；奇函数关于原点对称。

四、周期函数

设f(x)的定义域Ｄf,如果存在非零常数T，st对任意的x∈Ｄf,有（x±T)∈Ｄf,且f(x+T)=f(x),则称f(x)为周期函数，Ｔ为周期。

　　总结：这四个性质，前二个是用不等式来描述的，后两个是用等式来描述的。

五、复合函数、反函数

　１、复合函数

　　设y=√U　，Ｕ＝1-x^

    把u=1-x^代入y=√u中，得到 y=√(1-x^),称为，由y=√u与u=1-x^复合而成的复合函数 。

一般定义：

设y=f(u)是数集Y上的函数（Y是y=f(u)的定义域），u=Φ(x)的定义域为X，值域ＹΦ。而且ＹΦ≠φ，ＹΦ⊆Ｙ，这时对于x∈X，通过u都有唯一的y值与之对应。　　从而在数集Ｘ上产生一个新函数，用f.φ表示，称f.φ为Ｘ上的复合函数

　　x→y(f.φ),或y=[φ(x)] 

注：复合函数的定义域与非复合函数的定义域是不同的。

一般y=[ φ(x)]的定义域：由u= φ(x)的定义域中使函数u= φ(x)的值域Ｙφ满足Ｙφ⊆Ｙ的那一部分实数组成。